Алгебра, 7 класс

1. Подобные члены. Это члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены (члены, не содержащие переменную). Другими словами, подобные члены включают одну переменную в одной и той же степени, включают несколько одинаковых переменных или не включают переменную вовсе. Порядок членов в выражении не имеет значения. Например, 3x2 и 4x2 — это подобные члены, так как они содержат переменную «х» второго порядка (во второй степени). Однако х и x2 не являются подобными членами, так как содержат переменную «х» разных порядков (первого и второго). Точно так же -3yx и 5хz не являются подобными членами, так как содержат разные переменные. 2. Разложение на множители. Это нахождение таких чисел, произведение которых приводит к исходному числу. Любое исходное число может иметь несколько множителей. Например, число 12 может быть разложено на следующий ряд множителей: 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4, поэтому можно сказать, что числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12 являются множителями числа 12. Множители совпадают с делителями, то есть числами, на которые делится исходное число. Например, если вы хотите разложить на множители число 20, запишите это так: 4 × 5. Обратите внимание, что при разложении на множители переменная учитывается. Например, 20x = 4(5x). Простые числа не могут быть разложены на множители, потому что они делятся только на себя и на 1. 3. Запомните и соблюдайте порядок выполнения операций во избежание ошибок. Скобки Степень Умножение Деление Сложение Вычитание 4.Запишите выражение. Простейшие алгебраические выражения (которые не содержат дробей, корней и так далее) можно решить (упростить) всего за несколько шагов. Например, упростите выражение 1 + 2x - 3 + 4x. 5. Определите подобные члены (члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены). Найдите подобные члены в этом выражении. Члены 2x и 4x содержат переменную одного порядка (первого). Кроме того, 1 и -3 — это свободные члены (не содержат переменную). Таким образом, в этом выражении члены 2х и 4x являются подобными, и члены 1 и -3 тоже являются подобными. 6. Приведите подобные члены. Это значит сложить или вычесть их и упростить выражение. 2x + 4x = 6х 1 - 3 = -2 7. Перепишите выражение с учетом приведенных членов. Вы получите простое выражение с меньшим количеством членов. Новое выражение равно исходному. В нашем примере: 1 + 2x - 3 + 4x = 6х - 2, то есть исходное выражение упрощено и с ним легче работать. 8. Соблюдайте порядок выполнения операций при приведении подобных членов. В нашем примере было легко привести подобные члены. Однако в случае сложных выражений, в которых члены заключены в скобки и присутствуют дроби и корни, привести подобные члены не так просто. В этих случаях соблюдайте порядок выполнения операций. Например, рассмотрим выражение 5(3x - 1) + х((2x)/(2)) + 8 - 3x. Здесь было бы ошибкой сразу определить 3x и 2x как подобные члены и привести их, потому что сначала необходимо раскрыть скобки. Поэтому выполните операции согласно их порядку. 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Теперь, когда в выражении присутствуют только операции сложения и вычитания, вы можете привести подобные члены. x2 + (15x - 3x) + (8 - 5) x2 + 12x + 3 9. Найдите наибольший общий делитель (НОД) всех коэффициентов выражения. НОД — это наибольшее число, на которое делятся все коэффициенты выражения. Например, рассмотрим уравнение 9x2 + 27x - 3. В этом случае НОД=3, так как любой коэффициент данного выражения делится на 3. 10. Разделите каждый член выражения на НОД. Полученные члены будут содержать меньшие коэффициенты, чем в исходном выражении. В нашем примере разделите каждый член выражения на 3. 9x2/3 = 3x2 27x/3 = 9x -3/3 = -1 Получилось выражение 3x2 + 9x - 1. Оно не равно исходному выражению. 11. Запишите исходное выражение как равное произведению НОД на полученное выражение. То есть заключите полученное выражение в скобки, а за скобки вынесите НОД. В нашем примере: 9x2 + 27x - 3 = 3(3x2 + 9x - 1) 12. Упрощение дробных выражений с помощью вынесения множителя за скобки. Зачем просто выносить множитель за скобки, как это было сделано ранее? Затем, чтобы научиться упрощать сложные выражения, например дробные выражения. В этом случае вынесение множителя за скобки может помочь избавиться от дроби (от знаменателя). Например, рассмотрим дробное выражение (9x2 + 27x - 3)/3. Воспользуйтесь вынесением множителя за скобки, чтобы упростить это выражение. Вынесите множитель 3 за скобки (как вы делали это ранее): (3(3x2 + 9x - 1))/3 Обратите внимание, что теперь и в числителе, и в знаменателе присутствует число 3. Его можно сократить, и вы получите выражение: (3x2 + 9x – 1)/1 Так как любая дробь, у которой в знаменателе находится число 1, равна просто числителю, то исходное дробное выражение упрощается до: 3x2 + 9x - 1.