Алгебра, 8 класс

Пусть n - целое число. Разделим его на 6: n = 6*k+r, где r - остаток от деления на 6: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Рассмотрим все возможные случаи: 1). r = 0. n^2 = (6*k)^2 = 36*k^2 - делится на 6. 2). r = 1. n^2 = (6*k+1)^2 = 36*k^2+12*k+1 = 6*(6*k^2+2*k) + 1 - делится на 6 с остатком 1. 3). r = 2. n^2 = (6*k+2)^2 = 36*k^2+24*k+4 = 6*(6*k^2+4*k) + 4 - делится на 6 с остатком 4. 4). r = 3. n^2 = (6*k+3)^2 = 36*k^2+36*k+9 = (36*k^2+36*k+6)+3 = 6*(6*k^2+6*k+1) + 3 - делится на 6 с остатком 3. 5). r = 4. n^2 = (6*k+4)^2 = 36*k^2+48*k+16 = (36*k^2+48*k+12)+4 = 6*(6*k^2+8*k+2) + 4 - делится на 6 с остатком 4. 6). r = 5. n^2 = (6*k+5)^2 = 36*k^2+60*k+25 = (36*k^2+60*k+24)+1 = 6*(6*k^2+10*k+4) + 1 - делится на 6 с остатком 1. Итак, возможные остатки 0, 1, 3, 4. Остатки 2 и 5 невозможны.